Министерство образования и науки Российской Федерации
Министерство образования Саратовской области
Национальный исследовательский Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Саратовский областной институт развития образования
Комитет по информатизации Саратовской области
Комитет по образованию администрации муниципального образования «Город Саратов»
Автономная некоммерческая организация «Информационные технологии в образовании»
Автономная некоммерческая организация «Научно-исследовательский центр «Образование. Качество. Отрасль»»
IX Всероссийская (с международным участием) научно-практическая конференция
«Информационные технологии в образовании»
«ИТО-Саратов-2017»
2-3 ноября 2017 года, г. Саратов

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ В ТЕМЕ «СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ»

Авторы: Сумина Галина Алексеевна 1, Кандидат педагогических наук, Доцент, Сурчалова Лариса Владимировна 2, Кандидат педагогических наук, Заслуженный учитель РФ
1 ГАУ ДПО "Саратовский областной институт развития образования", 2 МОУ "Лицей прикладных наук"
В статье представлена методика решения задач с периодическими дробями в различных системах счисления. Задачи такого рода все чаще включаются в олимпиады различного уровня и могут быть материалом для подготовки к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по информатике, поэтому эту тему необходимо рассмотреть более подробно.

Информатика - прикладная наука, обладающая междисциплинарными  связями с другими науками, особенно, с математикой, поэтому раздел «Математические основы информатики» является основным  в изучении предмета «Информатика». Тема «Системы счисления» в разных объемах изложены во всех учебниках информатики, рекомендованных для общего образования, учащиеся ее хорошо осваивают и легко решают задачи на основные системы счисления – 2, 8, 10, 16.

Несколько лет назад в ЕГЭ появились задания со смешанными системами  счисления и различными системами счисления – 3, 4, 7,12  и др., а в олимпиадах появились дроби, поэтому в данной статье рассматривается методика решения задач с периодическими дробями в различных системах счисления.

Вспоминая математику, рассмотрим алгоритм преобразования десятичных периодических дробей.

Десятичные периодические дроби

Задачи, в которых необходимо преобразовывать периодические дроби в обыкновенные, сводятся к решению геометрической прогрессии, в которой известны:

·        первый член       b1

·        знаменатель прогрессии       q<1

·        количество членов       N=>∞

и необходимо искать сумму членов S при N=>∞ по формуле

s=b1/(1-q).

Периодические дроби бывают чистые и смешанные. В чистых дробях до периода в дробной части нет цифр и период расположен сразу после запятой, например 0.(4), 6.(12), 7.(7). В смешанных дробях в дробной части до периода имеются цифры, например, 0.1(4), 6.13(12), 7.54(7). Период представляет собой группу цифр, повторяющуюся бесконечное количество раз в дробной части.

Рассмотрим преобразование чистой дроби на примере x= 0,(17).

х=0,(17)=17/100+17/10000+…=17/102+17/104+ 17/106+…

Выделим составные геометрической прогрессии:

·        b1= 17/102

·        q=1/102

·        S=b1/(1-q)=17/99

х=S=17/99.

Таким образом, алгоритм перевода периодической дроби в обыкновенную, заключается в том, что период дроби записывается в числитель, а знаменатель состоит из количества цифр «9», равного количеству цифр в периоде.

Для смешанных периодических дробей перед периодом могут присутствовать другие цифры.

Рассмотрим преобразование смешанной дроби х=2,3(17) на примере

х=2.3(17)=2.3+17/1000+17/100000+…=2.3+17/103+17/105+ 17/107+…

Выделим составные геометрической прогрессии

·        b1= 17/103

·        q=1/102

·        S=b1/(1-q)=17/990

х=2.3+S=2+3/10+17/990=2+314/990=2+157/495.

При переводе смешанных периодических дробей - количество знаков в знаменателе равно количеству знаков после запятой и первый период, знаменатель будет состоять из 9 и из 0, где количество 9 – это количество цифр в периоде, а количество 0 – количество цифр между запятой и периодом; числитель  -  разность числа записанного после запятой и  период и числа между запятой и периодом.

Рассмотрим общий случай.

Периодические дроби в системах счисления по основанию «P»

Алгоритм перевода Р-ричных дробей следующий: переводим периодическую Р-ричную дробь в обыкновенную Р-ричную дробь, а затем в десятичную. Например,  перевести дробь 0,(2)4в десятичную систему. Выделим составные геометрической прогрессии:

·        b1= 2/104

·        q=1/104

·        S=b1/(1-q)=(2/104)/(1-1/104) =(2/3)4=(2/3)10

х=S=(2/3)4=0.66666666610=0.(6)10

Проверка.Переведем десятичную дробь в четверичную

0.666666666……. х 4 =2,6666666666666…

0.666666666……. х 4 =2,6666666666666…

0.666666666……. х 4 =2,6666666666666…,

цифры дробной части четверичой дроби – целые части произведений

0.(6)10=0,(2)4.

Таким образом, перевод в обыкновенную дробь периодической Р-чной дроби  заключается в том, что период записывается в числитель, а знаменатель состоит из количества цифр «Р-1», равного количеству цифр в периоде.

Пример 1.(http://olymp.ifmo.ru/). На какое целое число необходимо умножить бесконечную четверичную дробь 0,(31)4, чтобы получить целое число?

Решение: 

0,(31)4= 314/334= (3*4+1)/(3*4+3) = 1310/1510

Ответ:четверичную дробь нужно умножить на 334  или на 1510, чтобы получить целое число.

Пример 2.На какое целое число необходимо умножить бесконечную четверичную дробь 0,(25)6, чтобы получить целое число?

Решение: 

0,(25)6= 256  / 556= (2*6+5)/(5*6+5) = 1710/3510

Ответ:шестеричную дробь нужно умножить на 556  или на 3510, чтобы получить целое число.

Пример 3.Перевести периодическую четверичную дробь 0,1(2)4 в обыкновенную, затем в десятичную.

Решение:

0,1(2)4=(124-1)/304=114/304=5/1210=0,41(6)10.

Пример 4.Перевести периодическую четверичную дробь 0,1(А)16 в обыкновенную, затем в десятичную.

Решение:

0,1(А)16=(1А16-1)/F016=1116/ F016=1916/ F016=(25/240)10= 0,1041(6)10.

В заключении хотелось бы ответить на следующий вопрос:

Как  решать задачи, когда в периоде Р-ричных дробей стоят одни (Р-1)?

Такую периодическую дробь нельзя получить ни из какой обыкновенной дроби!

0.(9)10=9/9=1

0.(1)2=1/1=1

0.(5)6=5/5=1

0.(F)16= F/ F=1

Задание :  составить задачи на тему «Периодические дроби » для чистых и смешанных периодических дробей при  Р=5, 7, 2, 12, 16 (10 задач).

Рассмотренная методика является междисциплинарной и может изучаться  в  теме «Системы счисления» или в работе кружка по информатике (математике) или являться темой творческих проектов учеников 9-10 классов.

Список использованных источников
  1. 1. Перевод периодической дроби в обыкновенную. [Электронный ресурс] URL: http://geleot.ru/education/math/arithmetic/rational_numbers/periodic_to_fraction (дата обращения: 23.09.2017)
  2. 2. Открытая олимпиада школьников «Информационные технологии», архив задач [Электронный ресурс]. URL: http://olymp.ifmo.ru/ (дата обращения: 07.05.2017).
  3. 3. Потапов В.И., Шафеева О.П., Червенчук И.В. Основы компьютерной арифметики и логики:Учеб.пособие. – Омск: Изд- во ОмГТУ, 2004. – 172 с.
Вид представления доклада  Устное выступление и публикация
Ключевые слова  периодические дроби, системы счисления, информатика

В статусе «Черновик» Вы можете производить с тезисами любые действия.

В статусе «Отправлено в Оргкомитет» тезисы проходят проверку в Оргкомитете. Статус «Черновик» может быть возвращен тезисам либо если есть замечания рецензента, либо тезисы превышают требуемый объем, либо по запросу участника.

В статусе «Рекомендован к публикации» тезис публикуется на сайте. Статус «Черновик» может быть возвращен либо по запросу участника, либо при неоплате публикации, если она предусмотрена, либо если тезисы превышают требуемый объем.

Статус «Опубликован» означает, что издана бумажная версия тезиса и тезис изменить нельзя. В некоторых крайне редких ситуацих участник может договориться с Оргкомитетом о переводе тезисов в статус «Черновик».

Статус «Отклонен» означает, что по ряду причин, которые указаны в комментариях к тезису, Оргкомитет не может принять тезисы к публикации. Из отклоненных тезис в «Черновики» может вернуть только Председатель программного или председатель оргкомитета.